Session de rattrapage 2016

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Partie 1

Soit `g` la fonction numérique définie sur `]0,+infty[` par ` g(x)= 2/x -1+2lnx `

le tableau en dessous donne les variations de `g` sur l intervalle `]0,+infty[`



1) Calculer ` g(1)`

2) Déduire à partir du tableau des variations que ` g(x) > 0 ` pour tout ` x in ]0, +infty[`

Partie 2

On considère la fonction `f` définie sur `]0,+infty[` par ` f(x) = 3 -3x +2(x+1)lnx `

et soit `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))`

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat

2a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty ` indication on pourra écrire : ` f(x)= x [ 3/x -3 +2(1+1/x)lnx]`

b) Montrer que la courbe `C_f` admet au voisinage de `+infty` une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées

3a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= g(x) `

b) En déduire que la fonction `f` est strictement croissante sur `]0,+infty[` puis dresser le tableau des variations de `f` sur `]0,+infty[`

4a) Montrer que `I(1,0)` est un point d'inflexion de la courbe `C_f`

b) Montrer que ` y = x -1 ` est une équation de la tangente `(T)` à la courbe `C_f` en ce point

c) Construire la droite `(T)` et la courbe `C_f `

5) Résoudre graphiquement dans l intervalle `]0,+infty[ ` l inéquation `(x+1)lnx >= 3/2(x-1) `

Partie 1

1) Calculer ` g(1)`

On a `g(1)= 2/1 -1 +2xxln1 = 2-1 = 1 `

`=> g(1)= 1 `

2) Déduire à partir du tableau des variations que ` g(x) > 0 ` pour tout ` x in ]0, +infty[`

Selon le tableau des variations on déduit que `g(1)=1 ` est une valeur minimale de `g` sur l intervalle `]0,+infty[`

`=> forall x > 0 : g(x) > 1 > 0 `

`=> forall x in ]0,+infty[ : g(x) > 0 `

Partie 2

1) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty ` puis interpréter géométriquement ce résultat

On a `lim_{ x to 0^+} (3-3x)= 3-3xx0 = 3 ` et `lim_{ x to 0^+}2(x+1)= 2 ` et `lim_{ x to 0^+} lnx = -infty `

`=> lim_{ x to 0^+} 2(x+1)lnx = -infty `

`=> lim_{ x to 0^+} 3-3x +2(x+1)lnx = -infty `

`=> lim_{ x to 0^+} f(x)= -infty `

Interprétation géométrique

la droite d'équation ` x= 0 ` et une asymptote verticale de la courbe `C_f `

2 a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x)= +infty ` indication on pourra écrire : ` f(x)= x [ 3/x -3 +2(1+1/x)lnx]`

On a `lim_{ x to +infty} f(x)= lim_{ x to +infty} x [ 3/x -3 +2(1+1/x)lnx]`

On a ` lim_{ x to +infty} x = +infty `

et `lim_{ x to +infty} (3/x-3)= -3 ` et `lim_{ x to +infty} 2(1+1/x)= 2 ` et `lim_{ x to +infty} ln x= +infty `

`=> lim_{ x to +infty} [ 3/x -3 +2(1+1/x)lnx] = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} x [ 3/x -3 +2(1+1/x)lnx] = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `